Une équation quadratique \( ax^2 + bx + c = 0 \) a des racines qui sont deux fois les racines de l'équation \( x^2 - 6x + 8 = 0 \). Trouvez la valeur de \( a + b + c \) si le coefficient \( a = 1 \).
["Titre : Utilisation de l’équation quadratique : Trouver une nouvelle équation quand les racines sont doublées", "---", "### Introduction", "Les équations quadratiques jouent un rôle fondamental en algèbre, et l’une des propriétés fascinantes est la relation entre les racines d’une équation et celles d’une version transformée — notamment lorsque les racines sont multipliées. Dans cet article, nous allons explorer un problème typique impliquant l’équation quadratique ( ax^2 + bx + c = 0 ), dont les racines sont deux fois celles de ( x^2 - 6x + 8 = 0 ), et nous montrerons comment déterminer les coefficients ( a ), ( b ), et ( c ) — en particulier, trouver ( a + b + c ) lorsque ( a = 1 ).", "---", "### Étape 1 : Trouver les racines de l’équation initiale", "Commençons par résoudre l’équation de départ :\n[ x^2 - 6x + 8 = 0 ]", "Nous pouvons la factoriser directement :\n[ (x - 2)(x - 4) = 0 ]\nLes racines sont donc ( x = 2 ) et ( x = 4 ).", "---", "### Étape 2 : Déterminer les nouvelles racines", "On veut une équation dont les racines sont le double des racines initiales.\nDonc, les nouvelles racines sont :\n[ 2 \ imes 2 = 4 \quad \ ext{et} \quad 2 \ imes 4 = 8 ]", "---", "### Étape 3 : Former le nouvel équation quadratique", "Une équation quadratique avec racines 4 et 8 peut être écrite sous la forme factorisée :\n[ (x - 4)(x - 8) = 0 ]", "Développons cette expression :\n[\n(x - 4)(x - 8) = x^2 - 8x - 4x + 32 = x^2 - 12x + 32\n]", "Ainsi, l’équation quadratique cherchée est :\n[ x^2 - 12x + 32 = 0 ]\nsoit sous la forme générale ( ax^2 + bx + c = 0 ) avec :\n- ( a = 1 )\n- ( b = -12 )\n- ( c = 32 )", "---", "### Étape 4 : Calculer ( a + b + c )", "On cherche la somme des coefficients :\n[\na + b + c = 1 + (-12) + 32 = 21\n]", "---", "### Pourquoi ( a = 1 ) garantit un résultat unique ?", "Le coefficient ( a ) détermine l’échelle de l’équation. Si nous avions choisi une autre valeur pour ( a ), l’équation aurait eu la même forme relative mais une amplitude différente. Cependant, ici, la condition « ( a = 1 ) » impose une équation normale (monique). Ainsi, les autres coefficients ( b ) et ( c ) sont uniquement déterminés par les racines, et la somme ( a + b + c ) est uniquely définie.", "---", "### Conclusion", "Ce problème illustre une propriété clé des équations quadratiques : multiplier toutes les racines par un scalaire (ici 2) transforme les coefficients selon des règles simples, basées sur les formules de Viète. Lorsque ( a = 1 ), les valeurs ( b ) et ( c ) se déduisent directement à partir des racines modifiées, permettant un calcul clair et rigoureux.", "Valeur finale :\n[\na + b + c = 21\n]", "---", "### Mots-clés SEO :\nquadratique, équation quadratique, racines quadratiques, racines transformées, double racine, équation ax² + bx + c = 0, sommet équation, propriétés racines quadratiques, calcul a+b+c, résolution équation, formules de Viète, racines plusieurs, coefficient a égal à 1", "---", "Besoin d’aide pour résoudre d’autres équations ? Consultez notre guide complet sur les équations quadratiques !"]
