Wir müssen überprüfen, ob alle Wurzeln \( w_i \) reell und positiv sind, da nur reelle positive \( w_i \) zu reellen \( v = w_i^2 \) führen. Wir analysieren das kubische Polynom \( f(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18 \). Berechne Extremstellen:

["SEO-optimierter Artikel: Überprüfung der Real- und Positivität von Wurzeln eines kubischen Polynoms + Analyse der Extremstellen", "---", "# Wir müssen überprüfen, ob alle Wurzeln ( w_i ) reell und positiv sind, denn nur reelle positive ( w_i ) führen zu reellen und positiven ( v = w_i^2 )", "Die Bestimmung, ob die Wurzeln eines Polynoms ( f(w) ) reell und positiv sind, spielt insbesondere in Anwendungen der Regelungstechnik, Physik und numerischen Mathematik eine entscheidende Rolle. In vielen Modellen sind nur reelle, positive Werte physikalisch sinnvoll – gerade wenn sie quadrierte Größen wie Energien oder Stabilitätsmaße beschreiben. In diesem Artikel analysieren wir das kubische Polynom\n[\nf(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18\n]\nund prüfen, ob alle Wurzeln ( w_i ) die gewünschten Eigenschaften erfüllen. Zudem berechnen wir die Extremstellen des Polynoms – eine wichtige Voraussetzung für das Verständnis seines Verhaltens und einer notwendigen Analyse vor der Wurzelprüfung.", "---", "## Wann sind die Wurzeln eines Polynoms reell und positiv?", "Ein Polynom mit Koeffizienten in ( \mathbb{R} ) hat reelle Wurzeln nur, wenn das Polynom selbst genügend reelle Nullstellen besitzt. Da ( f(w) ) eine kubische Funktion ist, besitzt sie stets mindestens eine reelle Wurzel – maximal drei reelle Wurzeln. Damit alle Wurzeln ( w_i ) reell sind und zusätzlich positiv, müssen Escalin-Bedingungen erfüllt sein. Zusätzlich muss weltweit ( f(w) > 0 ) für alle positiven ( w ) gelten, falls alle Wurzeln positiv sein sollen – doch hier konzentrieren wir uns auf die algebraische Werterhaltung: Nur reelle positive ( w_i ) ergeben ( v = w_i^2 > 0 ), reelle und negativ oder komplexe Wurzeln führen zu nicht positiven oder komplexen ( v ).", "---", "## Anwendung auf das Polynom ( f(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18 )", "Wir beginnen mit der Analyse des Polynoms ( f(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18 ).", "### 1. Anwendung der rationalen Wurzelsuche (Hauptsatz der rationalen Nullstellen)", "Mögliche rationale Wurzeln sind Teiler des konstanten Terms (–18) geteilt durch Teiler des Leitkoeffizienten (1), also:\n[\n\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18\n]", "Wir prüfen diese durch Einsetzen:", "- ( f(1) = 1 - 8 + 9 - 18 = -16 )\n- ( f(2) = 8 - 32 + 18 - 18 = -24 )\n- ( f(3) = 27 - 72 + 27 - 18 = -36 )\n- ( f(6) = 216 - 288 + 54 - 18 = -36 )\n- ( f(9) = 729 - 648 + 81 - 18 = 144 ) → zu groß\n- ( f(-1) = -1 - 8 - 9 - 18 = -36 )\n- Interessant: ( f(3) = -36 ), ( f(6) = -36 ), aber ( f(1) = -16 ), ( f(2) = -24 ) — keine offensichtliche rationale Nullstelle", "Keine rationale Wurzel gefunden. Wir wenden numerische oder graphische Methoden an.", "### 2. Numerische Suche nach reellen Wurzeln", "Berechnung von Funktionswerten an kritischen Stellen:\n- ( f(0) = -18 )\n- ( f(1) = -16 )\n- ( f(2) = -24 )\n- ( f(3) = -36 )\n- ( f(4) = 64 - 128 + 36 - 18 = -46 )\n- ( f(5) = 125 - 200 + 45 - 18 = -48 )\n- ( f(6) = 216 - 288 + 54 - 18 = -36 )\n- ( f(7) = 343 - 392 + 63 - 18 = -14 )\n- ( f(8) = 512 - 512 + 72 - 18 = 54 )", "Da ( f(7) = -14 ) und ( f(8) = 54 ) das Vorzeichen wechselt → eine reelle Wurzel im Intervall (7,8)", "Da ( f(w) \ o -\infty ) für ( w \ o -\infty ) und ( f(0) = -18 ), und die Funktion zwischen ( w=0 ) und ( w=7 ) abnachborough bleibt, gibt es keine weiteren reellen Wurzeln im positiven Bereich, außer möglicherweise eine.", "Ableitung zur Lokalisierung der Extremstellen", "---", "## Berechnung der Extremstellen von ( f(w) )", "Die Extremstellen finden sich durch Nullstellen der ersten Ableitung:\n[\nf'(w) = 3w^2 - 16w + 9\n]", "Setzen wir die Ableitung gleich null:\n[\n3w^2 - 16w + 9 = 0\n]", "Mit der quadratischen Formel:\n[\nw = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 108}}{6} = \frac{16 \pm \sqrt{148}}{6} = \frac{16 \pm 2\sqrt{37}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{37}}{3}\n]", "Extremstellen bei:\n[\nw_1 = \frac{8 - \sqrt{37}}{3} \approx \frac{8 - 6.082}{3} \approx 0.639\n\quad \ ext{und} \quad\nw_2 = \frac{8 + \sqrt{37}}{3} \approx \frac{8 + 6.082}{3} \approx 4.697\n]", "Da ( f(w) ) eine kubische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist, gilt:\n- Für ( w < w_1 ): steigend\n- Für ( w_1 < w < w_2 ): fallend\n- Für ( w > w_2 ): steigend", "⇒ Also: Lokales Maximum bei ( w_1 \approx 0.639 ), lokales Minimum bei ( w_2 \approx 4.697 )", "---", "## Einsetzen in ( f(w) ), um Vorzeichen zu prüfen", "Wir berechnen größenordnungsmäßige Näherungen:", "- ( f(0.639) \approx (0.639)^3 - 8(0.639)^2 + 9(0.639) - 18 \approx 0.26 - 3.27 + 5.75 - 18 \approx -15.26 ) (negativ)\n- ( f(4.697) \approx (4.697)^3 - 8(4.697)^2 + 9(4.697) - 18 \approx 103.7 - 176.0 + 42.27 - 18 \approx -48.03 ) (ebenfalls negativ)", "Da beide Extremwerte negativ sind und der Grenzwert für ( w \ o +\infty ) positiv ist (( f(8)=54 )), folgt:\n→ Die Funktion steigt von ( -\infty ) an, erreicht ein Maximum (negativ), fällt weiter auf ein tiefes Minimum (negativ), dann steigt sie erneut steigend bis ( +\infty ) und schneidet die x-Achse einmal (in (7,8)).", "→ Fazit: Nur eine reelle Wurzel (aufgrund des negativen Maximums und Minimums) im positiven Bereich; zwei weitere Wurzeln sind komplex.", "---", "## Zusammenfassung und Schluss", "Die Analyse zeigt:\n- Das Polynom ( f(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18 ) besitzt genau eine reelle Wurzel im Intervall (7,8)\n- Diese Wurzel ist positiv – vielversprech"]