Wir suchen die Summe der Wurzeln der ursprünglichen Gleichung in \( v \), also der Summe der Quadrate der reellen positiven Wurzeln \( w \), da \( v = w^2 \). Zunächst bestimmen wir die Summe und das Produkt der Wurzeln \( w_i \) des kubischen Polynoms \( w^3 - 8w^2 + 9w - 18 = 0 \). Nach Vieta’s Formeln:
["ARTIKEL: Summe der Quadrate der reellen positiven Wurzeln von ( v = w^2 ) – Anwendung auf die kubische Gleichung ( w^3 - 8w^2 + 9w - 18 = 0 )", "In der Mathematik spielt die Analyse von Wurzeln kubischer Gleichungen eine zentrale Rolle – besonders wenn es um Anwendungen in Physik, Ingenieurwesen oder Optimierung geht. Ein interessantes Beispiel ist die Bestimmung der Summe der Quadrate der reellen positiven Wurzeln einer Variablen ( w ), wenn ( v = w^2 ). Diese Aufgabe ist eng verbunden mit Vieta’s Formeln und lässt sich elegant durch algebraische Methoden lösen.", "---", "### Wie bestimmt man die Summe der Quadrate der reellen positiven Wurzeln ( w ), da ( v = w^2 )?", "Gegeben ist das kubische Polynom:\n[\nw^3 - 8w^2 + 9w - 18 = 0\n]\nWir suchen die Summe der Quadrate der reellen, positiven Wurzeln ( w ), da ( v = w^2 ). Das bedeutet, wir interessieren uns für reelle Lösungen ( w > 0 ), und wollen ( \sum w_i^2 ), wobei ( w_i ) reelle positive Wurzeln sind.", "---", "### Schritt 1: Bestimmung von Summe und Produkt der Wurzeln über Vieta’s Formeln", "Für ein allgemeines kubisches Polynom\n[\nw^3 + a w^2 + b w + c = 0\n]\ngelten nach Vieta’s Formeln die folgenden Beziehungen:\n- Summe der Wurzeln: ( w_1 + w_2 + w_3 = -a )\n- Summe der Produkte zweier Wurzeln: ( w_1 w_2 + w_2 w_3 + w_3 w_1 = b )\n- Produkt der Wurzeln: ( w_1 w_2 w_3 = -c )", "Unser Polynom lautet:\n[\nw^3 - 8w^2 + 9w - 18 = 0\n]\nDaraus folgt bei Vergleich mit dem Standardform:\n- ( a = -8 )\n- ( b = 9 )\n- ( c = -18 )", "Also:\n- Summe der Wurzeln: ( w_1 + w_2 + w_3 = -(-8) = 8 )\n- Summe der Produkte je zwei: ( w_1 w_2 + w_2 w_3 + w_3 w_1 = 9 )\n- Produkt: ( w_1 w_2 w_3 = -(-18) = 18 )", "---", "### Schritt 2: Analyse der Wurzeln – finden der reellen positiven Lösungen", "Um herauszufinden, wie viele reelle positive Wurzeln es gibt, untersuchen wir das Polynom ( P(w) = w^3 - 8w^2 + 9w - 18 ).", "#### 1) Vorzeichenwechsel und Descartes’ Regel der An699C\nDie Koeffizientenfolge ist: ( +1,\ -8,\ +9,\ -18 )\nAnzahl der Vorzeichenwechsel:\n- von ( +1 ) zu ( -8 ) → 1\n- von ( -8 ) zu ( +9 ) → 2\n- von ( +9 ) zu ( -18 ) → 3", "Also 3 Vorzeichenwechsel → maximal 3 positive reelle Wurzeln.", "Mögliche reelle positive Wurzeln: 3, 1, oder 0.", "#### 2) Testen von ganzzahligen Kandidaten (Faktorisierung nach Rational Root Theorem)", "Versuchen wir Teiler von 18: ( \pm1, 2, 3, 6, 9, 18 )", "- ( P(1) = 1 - 8 + 9 - 18 = -16 <br/>\ne 0 )\n- ( P(2) = 8 - 32 + 18 - 18 = -24 <br/>\ne 0 )\n- ( P(3) = 27 - 72 + 27 - 18 = -36 <br/>\ne 0 )\n- ( P(6) = 216 - 288 + 54 - 18 = -36 <br/>\ne 0 )\n- ( P(9) = 729 - 648 + 81 - 18 = 144 <br/>\ne 0 )", "Keine ganzzahlige Wurzel. Allerdings berechnen wir:\n- ( P(3) = -36 ), ( P(4) = 64 - 128 + 36 - 18 = -46 )\n- ( P(5) = 125 - 200 + 45 - 18 = -48 )\n- ( P(6) = 216 - 288 + 54 - 18 = -36 )\n- ( P(7) = 343 - 392 + 63 - 18 = -24 )\n- ( P(8) = 512 - 512 + 72 - 18 = 54 > 0 )", "Da ( P(7) = -24 < 0 ), ( P(8) = 54 > 0 ), liegt eine reelle Wurzel zwischen 7 und 8. Nennen wir sie ( w_1 ).", "Mit niedrigen Werten für ( w < 3 ):\n- ( P(2) = -24 ), ( P(1) = -16 ) → weiter negativ, keine Nullstelle in ( (0,3) ).", "Also prüfen wir die Monotonie:\nAbleitung:\n[\nP'(w) = 3w^2 - 16w + 9\n]\nDiskriminante: ( \Delta = 256 - 108 = 148 > 0 ), also zwei kritische Punkte.\nAber zeigt das Polynom nur ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv am Ende → genau eine reelle Wurzel im Intervall ( (7,8) ), und zwei komplexe konjugierte Wurzeln.", "→ Somit hat das Polynom eine reelle positive Wurzel ( w_1 \approx 7.6 ), und zwei komplexe Wurzeln.", "---", "### Schritt 3: Berechnung von ( \sum w_i^2 ) für reelle positive Wurzeln", "Wir wollen:\n[\n\sum_{\substack{w_i > 0 \ \ ext{real}}} w_i^2\n]\nDa es nur eine reelle positive Wurzel ( w_1 ) gibt, ist:\n[\n\sum w_i^2 = w_1^2\n]", "Um ( w_1^2 ) zu finden, nutzen wir Tatsachen über die Wurzeln. Da ( w_1 ) die einzige reelle positive Wurzel ist, und das Polynom vollständig ist, kann man ( w_1^2 ) nicht direkt algebraisch ohne Näherung berechnen – doch mittels der Beziehung zwischen Summe und Quadrat der Wurzeln:", "Wir wissen:\n[\n\sum w_i = 8, \quad \sum w_i w_j = 9, \quad w_1 w_2 w_3 = 18\n]", "Da nur ( w_1 ) reell und positiv ist, sind ( w_2, w_3 ) komplex und komplex konjugiert: ( w_2 = a + ib ), ( w_3 = a - ib ) mit ( a, b \in \mathbb{R} ), ( b <br/>\ne 0 ).", "Dann ist\n[\nw_2 + w_3 = 2a, \quad w_1 + 2a = 8 \implies 2a = 8 - w_1\n]\n[\nw_1 w_2 + w_1 w_3 + w_2 w_3 = w_1(w_2 + w_3) + |w_2|^2 = w_1(2a) + (a^2 + b^2) = 9\n]\nSetze ( 2a = 8 - w_1 ):\n[\nw_1(8 - w_1) + (a^2 + b^2) = 9\n]\nDa ( a = \frac{8 - w_1}{2} ),\n[\na^2 = \left( \frac{"]
