الزوايا $z$ التي تحقق $\sin z = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ تقع في الربعين الثالث والرابع. الزاوية المرجعية هي $60^\circ$ لأن $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. لذلك، الحلول في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$ هي:

["الزوايا $z$ التي تحقق المعادلة $\sin z = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ تقع في الربعين الثالث والرابع", "تُعد معادلة الدالة المثلثية $\sin z = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ واحدة من الأسئلة الأساسية في علم المثلثات، خصوصًا عند تحديد الزوايا التي تعطي قيمة سالبة للجيب في الدائرة المثلثية. فالدالة الجيبية ($ \sin z $) تأخذ قيمًا سالبة في الربعين الثالث والرابع، مما يحدد الفترات التي نبحث فيها عن الحلول الصحيحة.", "نعلم أن القيمة $|\sin z| = \frac{\sqrt{3}}{2}$، وأن الزاوية المرجعية التي تحقق هذه القيمة هي $60^\circ$، لأن $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. بما أن الجيب سالب في الربعين الثالث والرابع، نجد الحلول من خلال طرح الزاوية المرجعية من مضاعفات الدائرة الكاملة ومن اعتبار الزاوية المرجعية بالدرجات.", "في الربع الثالث، الزاوية تكون $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$، حيث تقع الزاوية ضمن نطاق $[180^\circ, 360^\circ]$ وتعطي جيبًا سالبًا.", "أما في الربع الرابع، الزاوية تكون $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$، وهي تقع أيضًا في نطاق الدائرة الأول ويُحققها أيضًا تطلّع سالب على دالة الجيب.", "وبالتالي، الزوايا $z$ التي تحقق المعادلة $\sin z = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ وتقع في الربعين الثالث والرابع هي:", "$z = 240^\circ$ و $z = 300^\circ$", "تُعد هذه الحلول مثالًا واضحًا على كيفية تحديد الزوايا في كل ربع من الدائرة المثلثية، مع الانتباه إلى إشارة الدالة المثلثية والمقارنة مع الزاوية المرجعية.", "---", "ملخص الحلول:\nفي الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$، الزوايا التي تحقق $\sin z = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ هي:\n- $z = 240^\circ$ (الربع الثالث)\n- $z = 300^\circ$ (الربع الرابع)", "---", "### معلومة إضافية:\nفهم موقع الزوايا باستخدام الربعين يساعد في تطبيق المتطابقات المثلثية وتحديد الإشارات الصحيحة للدوال، مما يسهل حل المعادلات وحساب القيم في جميع الفترات.", "---", "باستخدام هذه الأسس، يصبح من السهل تحديد الحلول الدقيقة لأي معادلة تتضمن دالة الجيب بقيم سالبة أو موجبة معروفة، وخصوصًا في المجالات الرياضية والتعليم المثلث."]