السؤال: من بين جميع جذور المعادلة $z^4 - z^2 + 1 = 0$, يمكن التعبير عن الجزء التخيلي الأكبر من جذر على شكل $\sin \theta$, حيث $\theta \in [0^\circ, 90^\circ]$. أوجد $\theta$.

["السؤال: من بين جميع جذور المعادلة $z^4 - z^2 + 1 = 0$، يمكن التعبير عن الجزء التخيلي الأكبر من جذر على شكل $\sin \ heta$، حيث $\ heta \in [0^\circ, 90^\circ]$. أوجد $\ heta$.", "---", "### مقدمة", "تعد المعادلات التكعيبية في المتغير المركب من المواضيع الأساسية في الجبر والهندسة المركبة. هنا نتناول المعادلة:", "$$\nz^4 - z^2 + 1 = 0\n$$", "نريد إيجاد الجذور، ثم تحديد الأكبر من حيث القيمة المطلقة للجزء التخيلي، والتعبير عنه بصيغة $\sin \ heta$ مع $\ heta$ بالدرجات بين $0^\circ$ و$90^\circ$، ومن ثم إيجاد هذه الزاوية $\ heta$.", "---", "### الخطوة 1: استبدال بسيط لتبسيط المعادلة", "لنفرض $w = z^2$. إذن المعادلة تصبح:", "$$\nw^2 - w + 1 = 0\n$$", "نحل هذه المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام:", "$$\nw = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\n$$", "إذن الجذران هما:", "$$\nw_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad w_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}\n$$", "---", "### الخطوة 2: إيجاد جذور $z$ من $z^2 = w_1$ و $z^2 = w_2$", "نحتاج إلى جذور مركبة. نكتب $w_1$ و $w_2$ في الصورة القطبية.", "#### حساب الوسيط والقيمة المطلقة لـ $w_1$:", "قيمة المطلقة:\n$$\n|w_1| = \left| \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{1 + 3}}{2} = \frac{2}{2} = 1\n$$", "الوسيط (الزاوية):\n$$\n\arg(w_1) = \ an^{-1}\left( \frac{\sqrt{3}}{1} \right) = 60^\circ\n$$", "إذن:\n$$\nw_1 = \operatorname{cis}(60^\circ) = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ\n$$", "الجذور $z$ هي الجذور التربيعية لـ $w_1$، وبالتالي زواياها تكون نصف زاوية الوسيط، مع أخذ القيمتين $\pm(\frac{60^\circ}{2} + 180^\circ k)$:", "$$\nz = \operatorname{cis}\left(30^\circ + 180^\circ k\right),\quad k = 0, 1\n$$", "إذن الجذور:\n- $z_1 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ \Rightarrow \ ext{جزء تخيلي } = \sin 30^\circ = 0.5$\n- $z_2 = \cos 210^\circ + i\sin 210^\circ \Rightarrow \ ext{جزء تخيلي } = \sin 210^\circ = -0.5$", "#### الآن بالنسبة لـ $w_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$:", "القيمة المطلقة لا تزال 1.", "الوسيط:\n$$\n\arg(w_2) = \ an^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}}{1} \right) = -60^\circ \quad \ ext{أو} \quad 300^\circ\n$$", "الجذور التربيعية تُعطى بالزوايا:\n$$\n\ heta = \frac{300^\circ}{2} + 180^\circ k = 150^\circ + 180^\circ k,\quad k = 0,1\n$$", "إذن:\n- $z_3 = \operatorname{cis}(150^\circ) \Rightarrow \ ext{جزء تخيلي } = \sin 150^\circ = 0.5$\n- $z_4 = \operatorname{cis}(330^\circ) \Rightarrow \ ext{جزء تخيلي } = \sin 330^\circ = -0.5$", "---", "### الخطوة 3: تحليل الجزء التخيلي الأكبر", "قيم الأجزاء التخيلية:\n- $z_1$: $0.5$\n- $z_2$: $-0.5$\n- $z_3$: $0.5$\n- $z_4$: $-0.5$", "إذًا الجزء التخيلي الأكبر هو $0.5$.", "نحن نعلم أن:\n$$\n\sin 30^\circ = 0.5\n$$", "وبما أن $30^\circ \in [0^\circ, 90^\circ]$، نستنتج أن $\ heta = 30^\circ$.", "---", "### خاتمة", "من بين جميع جذور المعادلة $z^4 - z^2 + 1 = 0$، الجزء التخيلي الأكبر هو $0.5 = \sin 30^\circ$. لذلك:", "$$\n\ heta = \boxed{30^\circ}\n$$"]